Прийняття Базового компонента дошкільної освіти та вимога обов’язкової доматематичної підготовки дітей до школи змінюють чинні підходи до організації навчання математики. Формалізований характер математичних знань вимагають більш продуманих інноваційних підходів, котрі створювали б особистісно-сприятливе навчальне середовище. Навчання математики на дошкільному освітньому ступені освіти передбачає створення умов для засвоєння дітьми предметних знань (змістовний компонент) та оволодіння способами діяльності (операційний компонент) при врахуванні індивідуальних особливостей кожної дитини у формуванні її психічних функцій, пізнавальних процесів та задатків, морфофункціональної зрілості.

     Змістовний компонент включає оволодіння дітьми предметно-специфічними знаннями тобто певною сукупністю математичних понять, уявлень, символів, термінів, відношень, числових закономірностей, формування навичок лічби, умінь виконувати арифметичні дії, розв’язувати прості арифметичні задачі. Однак поряд із засвоєнням змісту предмета необхідно закладати у дошкільнят основи операційного мислення. Аналіз стану викладання математики у дитячих дошкільних закладах показує, що акцент робиться на змісті, логіці його викладу, систематизації, методичному забезпеченні процесу передачі знань від дорослого до дитини. Домінування у навчальній діяльності дошкільнят репродуктивних форм її організації, недооцінка вироблення операційних компонентів мислення на різнотипних завданнях програмує формування навчальних стереотипів. Під операційним розуміємо мислення, яке передбачає виконання розумових дій, пов’язаних з перетворенням предметів, явищ дійсності. Операційність є здатність мозку відтворювати акти перетворення, зміни навколишньої дійсності і повторювати, копіювати їх у мисленні дитини. Попередній досвід спостереження за змінами у природі, побуті, соціальному середовищі дозволяє дитині з часом самостійно у мисленому, внутрішньому плані здійснювати розумові операції, а пізніше і планувати їх виконання. А це і є джерелом змін усередині самої дитини, що може забезпечити їй певну автономію у саморозвитку і самовизначенні, може позитивно відбитися на процесах соціалізації особистості школяра надалі. Розглянемо формування операційного компонента навчальної діяльності у дітей п’ятого року життя. Психічні стани дітей середньої групи ще нестійкі і тому в організації процесу засвоєння знань необхідно використовувати дидактичні прийоми, які актуалізують пізнавальну потребу та пізнавальний інтерес. Це має бути цікава розповідь чи наочні матеріали, що привертають увагу дитини та стимулюють орієнтовний пізнавальний пошук шляхів розв’язання завдання. У розробці експериментальних матеріалів ми віддали перевагу цілісним малюнкам відомих дітям природних сюжетів, сімейних ситуацій тощо. Ми врахували таку особливість мислення дітей цього віку, як сприймання спочатку цілого, а пізніше – диференційоване вибіркове вивчення окремих властивостей предметів, явищ. Ігрова форма організації обчислювальної діяльності створює позитивний емоційний настрій на заняттях, що дозволяє кожній дитині перейнятися зображуваною ситуацією, розповідати про неї. Після цього подаються пошукові завдання на конкретизацію ігрових дій. Багатофункціональність малюнка передбачає синхронне залучення сенсорних систем на доступному для дитини матеріалі та оптимальне використання його інтегративних можливостей. Другою особливістю мислення дітей цього віку є його наочно-дійова форма, при якій учіння відбувається з опорою на дидактичні матеріали та практичні дії дитини. Операційність обчислювальної діяльності дітей п’ятого року життя формується при засвоєнні аксіоми лічби, ознайомлення з числами в межах 5, визначенні рівнопотужних множин та їх чисельності з використанням відповідної символіки. Кількісна лічба передує у часі порядковій і здійснюється у певній послідовності: 1) перелічування предметів, що мають однакові властивості (форму, величину, колір), 2) лічба предметів, що відрізняються однією ознакою (великі – маленькі, високі – низькі, товщі – тонші); 3) рахування предметів, розміщених лінійно (у рядок чи колонку), тобто мають початок відліку; 4) визначення чисельності множини, коли предмети мають довільне просторове розташування на площині малюнка; 5) початок відліку не задається, предмети розміщені по кільцевому принципу і дитина має вибрати перший для лічби предмет і зафіксувати його; 6) практичні дії з роздавальним матеріалом, коли дитина будує серіаційні ряди за вказівкою вчителя чи самостійно вибирає спосіб лічби предметів, співвідносить із числовими фігурами, почергово викладає на столі та називає число. Експериментальне дослідження показало правомірність такої системи завдань, бо традиційна методика навчання математики випускає із поля зору розгляд альтернативних варіантів просторового представлення чисельності множин. Такі завдання дозволяють формувати поняття натурального числа на різнотипних завданнях при збереженні істотних, суттєвих інваріантних кількісних характеристик множини. Для закріплення навичок лічби дітям пропонуються завдання на відлік певної кількості предметів за зразком (цифрою), на встановлення незалежності чисельності множини від величини, форми предметів, їх розміщення та відстані між ними. Операційнісгь важливо враховувати якраз на п’ятому році життя, бо в цей період інтенсивно розвивається орієнтовно-дослідницький рефлекс дитини. І тому необхідно дати їй можливість самореалізації в навчальних ситуаціях, у яких вона поставлена перед вільним вибором власного способу виконання завдання. Наприклад, на малюнку лісового пейзажу зображені тварини. Діти розповідають про те, де які тварини знаходяться і відповідають на запитання: "Чому сховався зайчик? Від кого він сховався? Скільки зайчиків? Де вони ховаються? Де знаходиться лисичка?”. Після цього дітям пропонується вирізати із додатка у малюнок ще одного зайчика і наклеїти його на малюнок сторінки посібника так, щоб його не побачила лисичка. Ознайомлення із математичними відношеннями в межах перших п’яти чисел відбувається у практичних діях на прикладання, накладання предметів чи їх оптичний аналіз. Окрім системи завдань нами розроблено два експериментальні варіанти дидактичної гри "Доміно”. До комплектів усіх варіантів входять по два набори, у кожному із яких по 6 карток. Набори відрізняються між собою тим, що у першому із них зображені предмети рослинного чи тваринного світу, а у другому – є зображення цифр. Доміно” належить до ігор з правилами, в яких одночасно беруть участь двоє гравців, тобто передбачається парна робота. Перший варіант "Доміно” можна використовувати для закріплення поняття рівнопотужних множин, а другий – складу чисел у межах 5. Перейдемо до питання формування операційності мислення у дітей старшої групи дитячих дошкільних закладів. За дослідженнями психологів у п’ятирічних дітей уже є певний досвід виконання операцій аналізу, синтезу, порівняння та узагальнення. У цьому віці зв’язки між розумовими операціями встановлюються не відособлено і вони мають сумарний характер. Діти цього віку здатні до цілком визначеної диференціації властивостей предметів за їх суттєвими і несуттєвими ознаками з перевагою останніх, цілеспрямованих дій у пошуку способу розв’язання навчального завдання, самостійного критичного ставлення до виконуваної роботи, перегляду варіантів розв’язання на рівні мислення. Вчені зазначають у дітей цього віку вміння встановлювати родово-видові відносини (вказувати родові характеристики чи видові відмінності предметів), порівняльну характеристику предметів (довший – коротший, більший – менший, , товщий – тонший) та відношення між предметами (більше – менше, швидше – повільніше). Якщо розглядати розвиток особистості дитини як процес якісних змін у мисленні, формуванні його психічних функцій та пізнавальних процесів, то це і є запорукою вироблення операційного досвіду, необхідного для подальшого активного впливу на зовнішнє середовище.

     Інструментом досягнення цілей педагогічного впливу на дитину виступають задачі. Традиційним є підбір задач, який можна охарактеризувати як однофункціональні. При їх виконанні реалізується одна дидактична мета, один оперативний спосіб "бачення” суті вправи і застосовується при їх виконанні одна чи дві розумові операції. Це уодноманітнює сприймання навколишньої дійсності, спричиняє формування інертності мислення, не розвиває розум, притупляє емоційну сферу дитини. Завдання, складені за принципом багатофункціональності, передбачають виконання кількох операцій мислення на конкретному змістовному матеріалі чи побутово-сюжетній ситуації, ставлять дитину в умови вияву самостійної ініціативи, напруги розумових сил і реалізації природного потягу до пізнання нового.

      На сьомому році життя інтенсивно розвиваються процеси соціального опосередковуючого відношення до дійсності: зростає активність дитини, збільшується доля ініціюючих дій у комунікативному спілкуванні, стають більш діяльними у порівнянні з п’ятирічними дітьми когнітивні структури, відбувається визначення пізнавальних пріоритетів у потребах та інтересах, формуються первісні загальнонавчальні уміння та починається процес усвідомленої диференціації змістовної та операційної сторін діяльності. Дитина цього віку здатна відмежовувати предмет, його властивості від способів дослідження та оволодівати у внутрішньому плані соціальними засобами відтворення образів предметів, їх символізації та перетворення у якісно нові продукти діяльності. Характерною рисою шести-семирічних дітей є переважання мовленнєвого розвитку над зовнішньопредметними діями, що говорить про достатній розвиток мислення та збагачення операційного досвіду дитини вербальними, довільними прийомами та способами діяльності, спрямованими на одержання результату діяльності. Дитина сприймає більше інформації, виявляє зацікавленість до виконання складних завдань, зосередженість, працездатність, наполегливість та самостійність у роботі з новими завданнями та закріпленні вивченого навчального матеріалу. Формування операційного стилю мислення передбачається здійснювати на основі розвитку прийомів розумової діяльності через систему доцільно дібраних навчальних задач, вміння робити посильні узагальнення, самостійно формулювати висновки та застосовувати знання у варіативних ситуаціях вищого за складністю рівня прикладної конкретизації. Розвивальна тенденція, коли дитина долає труднощі в оволодінні новим для неї навчальним матеріалом, сприяє суттєвим перебудовам у психічних, інтелектуальних та емоційно-вольових процесах, змінюючи загальну спрямованість особистості. Дидактичні матеріали у роботі з дітьми цього віку виступають засобом опосередковуючи дій дитини. Вони виконують функцію заміщення реальних ситуацій логіко-символічними конструктивними моделями, що відображають родово-видові відношення математичних абстракцій. Матеріали дібрані таким чином, що сприяють розширенню та збагаченню операційного мислення дитини, засвоєнню таких відношень і зв’язків, які при безпосередньому спогляданні встановити неможливо або які подаються в уявних образах для узагальнень вищого порядку. У дидактичних матеріалах закладено ще одну суттєву особливість. Завдання, що пропонуються дитині з опорою на малюнок, задають первинні умови та у неявному вигляді "контури” результату, а отже, після інструкції педагога спрямовують діяльність дитини на пошук способу досягнення мети. Організована у такий спосіб діяльність підводить дитину до необхідності здійснювати усвідомлений пошук шляхів виконання завдання, який відбувається за допомогою цілеспрямованого аналізу, змістового зіставлення ознак та властивостей предметів, доступного узагальнення математичних закономірностей.

      Програмою з математики для дитячих дошкільних закладів передбачено вивчення натуральних чисел у межах першого десятка як потужності множини дискретної сукупності об’єктів. В експериментальному дослідженні нами перевірено адаптованість системи завдань, в основу якої покладено врахування попереднього досвіду дитини у дослідженні ознак предметів. Паралельні процеси вдосконалення перцептивних дій, просторово-моторної координації з формуванням розумових операцій забезпечують якісно новий рівень оволодіння операційними структурами мислення. Підхід до вивчення натурального числа із використанням знань про величини та властивості предметів не виключає традиційного, а доповнює його та дозволяє подати дітям інше уявлення про кількісні відношення та натуральне число. Ознайомлення із натуральним числом як результатом вимірювання величин було побудовано у такій послідовності: - розвиток сенсорних процесів, спрямованих на розпізнавання, обстеження предметів, цілеспрямоване визначення їх ознак із використанням різних аналізаторів для створення цілісного, адекватного образу в розумінні величини як цілісної характеристики властивостей предметів. Відокремлення властивостей предметів від самих предметів на основі встановлення міжаналізаторних зв’язків, системних за своєю природою, дозволяє дитині реалізувати існуючу актуальну пізнавальну потребу. Відбувається поступовий перехід від обстеження предметів за однією властивістю (який із предметів пізнання довший, займає більше місця на площині?; місткість якої посудини більша?; хто із тварин рухається швидше? тощо) до їх дослідження за двома ознаками (смужка паперу довша за іншу, але разом із тим вужча; олівці, що мають однакову довжину і товщину, відрізняються кольором; кубики мають однакову форму, але різні за масою і не врівноважуються на терезах; мурашки проповзають за однаковий час різний шлях тощо); - оволодіння способами вимірювання та ознайомлення із математичним поняттям міри величини. Для цього були запропоновані умовні мірки, які для дітей сьомого року життя спочатку мали довільні значення. Основною величиною для вивчення натурального числа вибрана довжина, а умовна мірка подавалася у вигляді паперової смужки. Необхідність у введенні мірки обґрунтовувалася у проблемних ситуаціях, коли дитина не могла на основі оптичного, зорового аналізу встановити відношення між смужками (двома і більше), які на нелінованому папері довільно розміщувалися на площині аркуша. Така ситуація стимулює виникнення потреби у введенні еталона, за допомогою якого у категоріях "довша – коротша” слід розв’язувати завдання. Наступний крок – використання міток для порівняння двох відрізків. Мітки мають значущість підказки для визначення того, скільки разів умовна мірка відкладається у конкретній смужці чи предметі (вудка, колода, дошка тощо). Підрахунок кількості вкладених умовних мірок підводить до причинно вивідного висновку на рівні мислення про кількісні характеристики сукупності предметів та дозволяє зіставляти, порівнювати з іншими однорідними величинами. Для розвитку умінь виконувати вимірювально-практичні дії дітям 6-7-го року життя пропонувалися завдання на заміну умовної мірки, вимірювання однієї смужки різними мірками, розвиток розумових дій з уявними образами, декомпозицію величини з аргументованим супроводом у термінах "ціле – його частини” у рецептивній мові з використанням відповідного понятійного апарату. Вимірювальна практична робота з умовними мірками завершується ознайомленням із одиницею вимірювання – сантиметром та інструментальним засобом – лінійкою; - порівняння чисел за результатами діяльності вимірювання. Знаходження міри величини діти здійснювали, опираючись на практичні дії із загальноприйнятими еталонами (довжини), а порівняння одержаних значень відбувалося із використанням знань про властивості відношення "більше” ("менше”) – антирефлексивності, антисиметричності та транзитивності. Ці знання та первинні навички у порівнянні чисел дозволяють перейти до ускладнених завдань на побудову серіаційних рядів за певною ознакою та відрізка натурального ряду чисел; - вивчення складу чисел у межах першого десятка було побудовано на варіативній системі завдань. Продовжуючи лінію вимірювань при закріпленні складу чисел ми використовували умовний поділ цілого на частини. Наприклад, у відрізку (7 умовних мірок) зліва направо дітьми відкладаються три умовні мірки і ставиться мітка. Вона розбиває відрізок на дві менші частини, у другій із яких потрібно визначити кількість вкладених умовних мірок. І як висновок: сім – це три та чотири. В ускладненому варіанті вимірювальні роботи переносяться на числову пряму, а склад чисел записується прикладом. Інший варіант закріплення складу чисел, починаючи із числа і цифри 5, полягає в тому, що теоретичною основою виступає математична операція розбиття множини на класи за певною ознакою. Відповідно до означення класи розбиття повинні бути не порожніми множинами, не мати спільних елементів, а їх об’єднання давати дану множину. За таких умов було організовано вивчення складу чисел у межах 10 з дітьми підготовчої групи. З цією метою було розроблено комплект індивідуального роздавального матеріалу для кожного із чисел в межах 10. Мета завдань – подати різні варіанти дихотомічного розбиття множини на класи та закріпити склад чисел в межах 10. Спосіб виконання: оперування предметною множиною для кожного із чисел 5 – 10. Логічним обґрунтуванням вивчення складу чисел в межах 10 на основі дихотомічного розбиття множини на класи виступають закони тотожності та непротиріччя, оскільки основою поділу в усіх випадках є постійна ознака – властивості предметів. Для вивчення складу чисел у межах першого десятка дітьми шостого року життя використовували предметні малюнки: для числа 5 – грибів, що відрізняються формою та величиною, книг, що відрізняються товщиною і висотою; для числа 6 – м’ячів, що відрізняються величиною та кольором; для числа 7 – олівців, що відрізняються довжиною та кольором; для числа 8 – квітів, що відрізняються кількістю пелюсток та кольором; для числа 9 – кубиків, різних за величиною та кольором; для числа 10 – геометричних фігур, що відрізняються формою та кольором. Наступність обчислювальної діяльності у початковій школі забезпечується системою педагогічної роботи, що успадковує та розвиває попередній досвід дітей, формує глобальні операційні структури. Вчитель має продовжити лінію поступового переходу від емпіричного та індуктивного характеру пізнавальних процесів, від опорної сенсорної інформації у навчанні до абстрактно-знакового оперування символами, усвідомленого конструювання синтаксично грамотних обчислювальних "висловлень”, оволодіння прийомами алгоритмізації та раціоналізації обчислювальної діяльності. Засобом забезпечення наступних зв’язків виступає система завдань, що активізує процеси мислення, стимулює інтелектуальний пошук, ініціативу, зорієнтована на розвиток розумових операцій. До системи завдань увійшли такі, що: - складені за принципом наступності, тобто передбачають жорстку послідовність та поступовість у формуванні обчислювальної діяльності; - розвивають числову спостережливість, "зорову” чутливість до числового матеріалу (опорна інформація – нумерація чисел, знання законів арифметичних дій, операційний склад чисел); - формують стабільні операційні розумові структури, які лежать в основі обчислювальних навичок і які можна визначити як сукупність розумових операцій у різних поєднаннях; - сприяють виробленню як окремих операцій (від аналізу числового матеріалу до аналізу продуктивних функціональних зв’язків; порівняння пар прикладів і встановлення у них схожого та відмінного; конкретизації обчислювального прийому; узагальнення прийомів виконання дій), так і їх комплексу, а також формуванню операцій мислення високого ступеня складності та дієвості; - передбачають планування діяльності: від аналізу числового завдання до одержання результату та перевірки правильності виконання обчислювального завдання; - доступні для виконання самоконтролю та формування самооцінки. Формування обчислювальної діяльності пов’язуємо із орієнтацією на розвиток операційних структур мислення, що передбачає накопичення операційного досвіду обчислювальної діяльності. У дошкільників закладаються основи операційного досвіду, тоді як у початковій школі узагальнюються та систематизуються знання змістовної (знання законів арифметичних дій, знання арифметичних дій) та операційної (автоматизація обчислювальних прийомів, раціоналізація обчислень) сторін обчислювальної діяльності. Вибір та структурування системи обчислювальних завдань здійснюється за принципом поступового ускладнення та наступності, тобто кожне наступне математичне завдання базується на вже вивченому та включає елементи нового при поступовому розширенні класу математичних завдань.